利用空間向量求直線與平面所成的角（教案）

§3.2.3利用空間向量求直線與平面所成的角（教案）

（第一課時）--董冰蓉

教學目標

1.使學生學會求直線與平面所成的角；

2.使學生能夠應用向量方法解決一些簡單的立體幾何中的線面角問題；

3.使學生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.

教學重點

求解線面角的向量方法

教學難點    

線面角的大小與直線的方向向量和平面法向量夾角的大小的關系

教學過程

一、復習引入

線面角的定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，圖中∠PAO

規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°；

一條直線和平面平行，或在平面內，它們所成的角是0°

線面角的范圍：

【前情提要】

如圖：在正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，求：

（1）A₁C₁與平面BB₁D₁D所成的角      （2）A₁C₁與平面BB₁C₁C所成的角       

【引例】

如圖所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

二、新知探索

直線與平面所成的角（范圍：）

思考：設平面的法向量為，則與的關系？

【結論】4種情況，兩類問題（改變直線方向向量的方向、改變平面法向量的方向）

三、小試牛刀

1．設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝3(2π)，則l與α所成的角為(　　)

A.3(2π)         B.3(π)          C.6(π)          D.6(5π)

2．若平面α的一個法向量為n＝(2,2,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－1，0,1)，則l與α所成角的余弦值為(　　)

A．      B.         C．       D.

四、例題精析

如圖所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

變式：本例已知條件不變，求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的余弦值.

【課堂小結】

1.利用空間向量求直線與平面夾角的基本步驟

(1)建立空間直角坐標系；      (2)求直線PA的方向向量→(PA)；

(3)求平面的法向量n；        (4)設線面角為θ，則sinθ＝||n|(PA).

2.運用了有哪些數(shù)學思想？

化歸與轉化的思想等.

五、課后延伸與探索

如何用向量法求點到平面的距離？

六、課后作業(yè)

1．如圖所示，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝AA₁＝3.求直線B₁C₁與平面ACD₁所成角的正弦值．（用幾何法和向量法的結合求解）

2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M，N分別為PC，PB的中點，求BD與平面ADMN所成的角θ.

撰文：教科室

圖片：教科室

審核：劉旭

上傳：鄒濤